中國剩餘定理

金庸先生的《射雕英雄傳》暢銷全球,很多人也知道郭靖和黃蓉的故事,但原來在《射雕英雄傳》內也有有關數學的名題,這便是「孫子定理」或稱「鬼谷算」或「韓信點兵」,但當今數學界則稱之為「中國剩餘定理」(Chinese Remainder Theorem)。

話說郭靖和黃蓉在離開泥沼時,黃蓉下了三道題目挑戰號稱「神算子」的瑛姑,當中的第三道題目,便是這著名的「鬼谷算」:

今有物不知其數,

三三數之賸二;

五五數之賸三,

七七數之賸二。

問物幾何? (摘自《孫子算經》卷下,第26題)

如果用白話寫出,意思是:現有一個未知量,除3時,餘數是2;除5時,餘數是3;除7時,餘數是2,問這個未知量的最小值?

瑛姑不難便得出答案是23,心算快的人都能算出!但她也得向黃蓉請教,因為瑛姑的答案是硬生生地試出來的,她找不到解這道題的普遍方法;而數學的研究便是希望找到解題的特質,作出普遍化的解法。

「鬼谷算」的解法在民間唱成歌謠

三人同行七十稀,

五樹梅花廿一枝,

七子團圓正月半,

除百零五便得知。 (摘自《算法統宗》卷四 )

「月半」代表15。這解的意思是說,把70乘以被3除所得的餘數,21乘以被5除所得的餘數,15乘以被7除所得的餘數,然後再加起來。如果其和大於105,則減去105,直至小於105為止,最後這個數便是答案。以「鬼谷算」中的餘數為例:2x70+3x21+2x15-105-105=23

同學們不妨嘗試用不同的餘數來驗證這個解,你會發現這個方法果真是妙不可言。但(一)如何推出這個結果?(二)如果除數改變了,或有更多的餘數時又如何?簡而言之,可以把這個方法推廣嗎?