正多面體只有5個？

任一正整數 n (n >= 3) 都相應有一正 n 邊形；由相同正多邊形所圍成的(凸)正多面體則不然，只有如下圖所示的五種。

正4面體 正6面體(立方體) 正8面體 正12面體 正20面體

證明很簡單： 設繞著一固定的頂點 N，共有 a 個正 b 邊形 (如圖中的正十二面體，a = 3, b = 5)， 則因正 b 邊形的每一個角為 ， 所以繞著 N 點的 a 個角共有 。

沿著角邊剪開，我們發現這些角可圍著 N 點攤在一平面上而不重疊(因為假定正多面體是凸的)，所以 。

化簡得 (a - 2)(b - 2) < 4。

所以 a, b 只有五種可能的組合:

a = 3, b = 3; (正4面體)

a = 3, b = 4; (立方體)

a = 4, b = 3; (正8面體)

a = 3, b = 5; (正12面體)

a = 5, b = 3， (正20面體)

而且這五種組合實際上都有可能。

在古希臘柏拉圖的哲學裡，火、土、空氣、水為四種基本元素，各以正四面、六面、八面、二十面體來代表，而整個宇宙的形狀就是正十二面體。由於柏拉圖的關係，希臘人對正多面體最為關心，這五個正多面體又叫做柏拉圖立體 (Platonic solids)。